100 的计划过于宏伟，慢慢来吧。

本篇文章将详细探讨高考相关的导数题目，以不等式为主。

材料几乎都来自于 《导数的秘密》，算是给这本书做注了。

记录的题目应该不是很难，主要写有关思路方面的东西，比如答案是怎么想到的，有无更加自然的解法。

1.

若 $a > 0,b > 0$ ，证明：

题目来自于 《导数的秘密》第一章思考题2

高中课内有点难度的不等式证明几乎核心只有一个——构造函数，研究函数的单调性。

先对题目做一个整体的感知：LHS 中 a 和 b 是混在一起的，但是 RHS 中它们是分开的。

那么 RHS 的形式已经相当美观了，a 和 b 都是分开的，难搞的是左边。

如何把 $2ab$ 中的 a 和 b 分开呢，并且还需要保证不等号的方向是对的？

显然有基本不等式 $2ab \le a^2 + b^2$

将这一步放缩带入，即证：

很显然我们可以构造函数了，令 $f(x)=e^{x-1} + x ln(x) - x^2$ 我们只需要证明当 $x > 0 $ 时，有 $f(x) \ge 0$

似乎已经是一个简单的问题了，是吗？

我们求导有 $f’(x) = e^{x - 1} + 1 + ln(x) - 2x$

虽然你瞪眼一下确实能够找到一个根 $x=1$ 但是你需要是的函数的单调性来分析值域；虽然你也许可以感觉到 $x=1$ 是最小值，但是好像没有什么很好的办法能够直接说明，然后你就去求二阶导，求完了之后还是懵逼，又求三阶导，分析一下单调性，逆推回去，当然是可以做的，而且这个方法也不错，计算量不大也很好想。

上面的思路其实是我在刚刚写的时候想到的，好像还比下面这个要一点注意力的方法好一些？

接下来是我自己在做这个题时的想法。

首先我毛估估了一下原函数 $f(x)$ 感觉非常的单调递增。着手开始考虑证明 $f’(x) \ge 0$ ，我没有再想求二阶导的事，我希望可以用一些优雅的不等式放缩解决这个问题，观察 $f’(x)$，不难联想到 $e^{x} \ge x + 1$，将 $f’(x)$ 按照这个模式进行整理，易得：

集中一下注意力就发现 $f’(x)$ 其实就是一个函数两个位置的差，也就是说：

令 $g(x) = e^{x-1} - x$ , 有 $f’(x) = g(x) - g(ln(x) + 1)$

并且我们还知道 $x \ge ln(x) + 1$ ，多么美好的性质。

研究一下函数 $g(x)$ ，再分类讨论一下 $x\ge 1$ 和 $x\le 1$ 的情况，容易得到我一开始的猜测是错误的，但是也完成了本题的证明。简单来说我做的事情就是，将同构进行到底。

标答给的函数构造太神奇了，完全看不出来动机在哪里，为什么有人想到构造的函数是 $\frac{f(x)}{x}$ 啊？