100个代数不等式好题

不知道为啥很想写这个。为了避免三分钟热度，已经找人监督了。

听了某些人的话，感觉确实有必要写引导性笔记，这似乎就是费曼学习法？

1.

$$\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{x_{i+1}} \ge \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i+1}{x_{i + 1} + 1},x_i > 0$$

下标理解为 mod n。

首先拿到这个题一看，脑袋里面就是什么糖水不等式之类的，再仔细一想，肯定就发现这个问题肯定和糖水无关，因为连 $x_i,x_{i+1}$ 相对大小关系都不知道，而且这个东西严重影响不等号的方向。

然后就有点干瞪眼了。仔细观察一下，这个不等式里面的那个 “1” 很烦人，想想能不能在这上面做些手脚。而且这个题的 $x_i$ 自由度非常高，在这上面大做文章肯定是极其复杂的。

这一切都告诉我们研究的主题应该放在 “1” 身上，而且观察到只要对 “1” 成立，对任意自然数好像都是成立的，因为替换一下就行了。

思路呼之欲出。

令 $f(t)= \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i+t}{x_{i + 1} + t}$，对 $f(t)$ 求导，得，

$$f'(t)=\sum_{i=1}^{n} \frac{ {x_{i+1}-x_i} }{(x_{i + 1} + t)^2 }=\sum_{i=1}^{n} \frac{ {x_{i+1}} }{(x_{i + 1} + t)^2} - \frac{ {x_i} }{ (x_{i + 1} + t)^2 }$$

由排序不等式显然 $f’(t) \le 0$。因为左边就是逆序和，右边是乱序和。

原题即证 $f(0) \ge f(1)$ , 证毕。

2.

$$\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{x_{i+1}} \ge \sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i + 1}+1}{x_i + 1},x_i \in [2023,2025]$$

下标理解为 mod n。

首先感恩 CAN 群为我提供如此高质的问题，感谢小黄鸭的讲解，受益颇丰。

乍一看好像和第一题差不太多，其实难上加难，原因如下。

这个东西轮换不对称，你最多设最大元，但这毫无意义；依然是这种无对称性，第一题的方法毫无用武之地。

我们想能不能构造某个中间量来证明这个命题，但依然不行，因为我们发现左右两式都大于等于 $n$。

我们想尝试代数变形，像 $\frac{x_i}{x_{i+1}} - \frac{x_{i+1}+1}{x_i+1}=\frac{(x_{i+1}-x_i)(x_i+x_{i+1}+1)}{x_i(x_{i+1}+1)}$，但是这样正负也未知。

似乎异常难下手。确实挺难下手的，本题也确实需要一些高等的观点，真的不太信有人纯初等方法做出来，毕竟IMO Au都没有。

不妨将问题特殊化，我就假设这个数列递增，刚刚的代数变形看上去好像还有点前景，我们先保留。

我们同时发现分子里面的 $x_{i+1}-x_i$ 似乎有一些积分的特质在里面，尝试把这个问题放在积分观点（那可以理解成 n 有无限项）下，来看看会发生什么。

$$\sum_{i=1}^{n-1} \frac{(x_{i+1}-x_i)(x_i+x_{i+1}+1)}{x_i(x_{i+1}+1)} \approx \int_{x_1}^{x_n} \frac{2x+1}{x(x+1)} dx=ln(\frac{x_n(x_n+1)}{x_1(x_1+1)})$$

我们来直观感受一下这个东西，这个就是一种在两个数之间插入数的这么一种感觉，插入无限项就有极限了，这玩意儿可能是个局部不等式。

先考虑它真是个局部不等式，那这个题还真就做完了，这大大增加了我们的信心，这个极有可能是对的。

那其实我们要证的就是这个东西了 $\frac{b}{a} - \frac{a+1}{b + 1} \ge ln (\frac{b(b+1)}{a(a+1)})$，此时我们发现这个局部好像不太对，这是因为我们漏了 $x_i$ 有取值范围，于是我们补上约束条件 $b \ge a-2,b>0,a>0$

接下来就可以求导暴算了，但是接下来我还是会用积分的方法完成证明，因为这个方法简直太牛了，完全不知道想到的人脑子怎么长的。我们考虑积分的时候不可避免的需要讨论 $a,b$ 之间的大小关系。

首先先来看 $b\ge a$:

$$ln(\frac{b(b+1)}{a(a+1)}) = \int_{a}^{b} (\frac{1}{x} + \frac{1}{1+x}) dx = \int_{a}^{b} (\frac{1}{x} + \frac{1}{1+a+b-x}) \le \int_{a}^{b} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b+1}) dx = (b-a)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b+1})$$

再来看 $a\ge b \ge a-2$

$$ln(\frac{a(a+1)}{b(b+1)}) = \int_{b}^{a} (\frac{1}{x} + \frac{1}{1+x}) dx \ge \int_{b}^{a} (\frac{1}{\frac{a+b}{2}} + \frac{1}{\frac{a+b}{2}+1}) dx \ge (a-b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b + 1})$$

补充一下，这个第一个不等号的来历是由于反比例函数下凸，可以使用切线放缩，即两端点中点处切线围成的梯形面积来放缩。

至此，本题结束。太美妙了。